METODO DE ADAMS - MOULTON

Los métodos de Adams-Moulton se parecen a los métodos de Adams-Bashforth en que también tienen ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$ y ${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$. De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible. Sin embargo, los métodos de Adams-Moulton son métodos implícitos. Al eliminar la restricción de que ${\displaystyle b_{s}=0}$, un método de Adams-Moulton "paso a paso" puede alcanzar el orden ${\displaystyle s+1}$, mientras que los métodos de Adams-Bashforth en el paso s solo tienen orden s.

Los métodos de Adams-Moulton con s = 0, 1, 2, 3, 4 

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(este paso es el método de Euler hacia atrás)}}\\y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\qquad {\text{(este paso es la regla trapezoidal)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$

La deducción de los métodos de Adams-Moulton es similar a la del método de Adams-Bashforth; sin embargo, el polinomio de interpolación utiliza no solo los puntos ${\displaystyle t_{n-1},\dots ,t_{n-s}}$, como anteriormente, sino también ${\displaystyle t_{n}}$. Los coeficientes vienen dados por

${\displaystyle b_{s-j}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s}(u+i-1)\,du,\qquad {\text{para }}j=0,\ldots ,s.}$

Los métodos de Adams-Moulton se deben únicamente a John Adams al igual que los métodos de Adams-Bashforth. El nombre de Forest Moulton se asoció con estos métodos porque se dio cuenta de que podrían ser utilizados en tándem con los métodos de Adams-Bashforth como un par de métodos predictor-corrector (Moulton, 1926); Milne 1926 tenía la misma idea. Adams utilizó el metodo de newton para resolver la ecuación implícita.

Los conceptos centrales en el análisis de los métodos lineales multipaso, y de hecho, de cualquier método numérico para resolver ecuaciones diferenciales, son su convergencia, su orden, y su estabilidad.

Coherencia y orden

La primera pregunta es si el método es coherente: ¿es la ecuación diferencial

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

una buena aproximación de la ecuación diferencial ${\displaystyle y'=f(t,y)}$? Más precisamente, un método de varios pasos es consistente si el error de truncamiento local se acerca a cero más rápido que el tamaño de paso h cuando h tiende a cero, donde se define elerror de truncamiento local como la diferencia entre el resultado del método ${\displaystyle y_{n+s}}$ (suponiendo que todos los valores anteriores ${\displaystyle y_{n+s-1},\ldots ,y_{n}}$ son exactos), y la solución exacta de la ecuación para el instante ${\displaystyle t_{n+s}}$. Un cálculo utilizando la Serie Taylor muestra que un método lineal multipaso es coherente si y solo si:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{y}}\quad \sum _{k=0}^{s}b_{k}=s+\sum _{k=0}^{s-1}ka_{k}.}$

Todos los métodos mencionados anteriormente son consistentes

Si el método es consistente, entonces la siguiente pregunta es en qué manera la ecuación que define el método numérico se aproxima a la ecuación diferencial. Se dice que un método de varios pasos tiene orden p si el error local es de orden ${\displaystyle O(h^{p+1})}$ cuando h tiende a cero. Esto es equivalente a la condición siguiente sobre los coeficientes de los métodos:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{y}}\quad q\sum _{k=0}^{s}k^{q-1}b_{k}=s^{q}+\sum _{k=0}^{s-1}k^{q}a_{k}{\text{ para }}q=1,\ldots ,p.}$

El método de Adams-Bashforth de la etapa s tiene orden s, mientras que el método de Adams-Moulton en la etapa s tiene orden ${\displaystyle s+1}$ 

Estas condiciones se formulan a menudo utilizando los "polinomios característicos":

${\displaystyle \rho (z)=z^{s}+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}z^{k}\quad {\text{y}}\quad \sigma (z)=\sum _{k=0}^{s}b_{k}z^{k}.}$

En términos de estos polinomios, la condición anterior para que el método tenga orden p se convierte en:

${\displaystyle \rho (\mathrm {e} ^{h})-h\sigma (\mathrm {e} ^{h})=O(h^{p+1})\quad {\text{como }}h\to 0.}$

En particular, el método es coherente si tiene orden al menos uno, que es el caso si ${\displaystyle \rho (1)=0}$ y ${\displaystyle \rho '(1)=\sigma (1)}$