METODO DE PASOS MULTIPLES

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Observe la ecuación ec. 2  alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podria no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de no autoinició.

Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio mas que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a  Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no autoinicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

La ecuación se puede aplicar de manera iterativa hasta que Ea esté por debajo de un valor pre especificado de Es. Como fue el caso con el método de Heun, las iteraciones convergen sobre un valor de 6.360865. Sin embargo, como el valor del predictor inicial es más exacto, el método de multipaso converge una razón algo más rápida.
Para el segundo paso, el predictor es:

Que es superior a la predicción de 12.08260 que fue calculada con el método de Heun original. El primer corrector da 15.76693 e iteraciones subsecuentes convergen sobre el mismo resultado como se obtuvo con el método de Heun de autoinicio: 15.30224. Como con el paso anterior, la razón de convergencia del corrector ha sido mejorada debido a la mejor predicción inicial.

Deducción y análisis del error de las formulas del predictor-corrector. Ya empleamos conceptos

gráficos para deducir el Heun de no autoinicio. Ahora mostraremos como las mismas ecuaciones se pueden deducir matemáticamente. Esta deducción es en particular interesante porque vincula las ideas del ajuste de curva, de la integración numéricas y de las EDO. El ejercicio también es útil porque proporciona un procedimiento simple para desarrollar métodos de multipaso de orden superior y estima sus errores.
La deducción se basa en resolver la EDO general:

La ecuación representa una solución a la EDO si la integral puede ser evaluada. Es decir, proporciona un medio para calcular un nuevo valor de la variable dependiente  con base en un valor previo de  y la ecuación diferencial.
Las formulas de integración numérica proporcionan una manera de hacer esta evaluación. Por ejemplo, la regla trapezoidal se puede usar para evaluar la integral, como en:

El cual es el predictor para el Heun de no autoinicio. Como con el corrector, el error de truncamiento local se puede tomar directamente: