METODO DE EULER MEJORADO

 Existen otros métodos que permiten llegar a una solución más aproximada usando una menor cantidad de cálculos. Uno de estos métodos es el de Euler mejorado que además permite aumentar fácilmente la exactitud del proceso.

El método de Euler mejorado consiste en tomar las fórmulas del método de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final y luego promediarlas. De esta manera el resultado será mucho más acertado a lo largo de todo el intervalo.

El método de Euler mejorado hace parte de una clase general de métodos conocidos como métodos predictores-correctores, en los que primero se calcula una predicción Un+1 del siguiente valor de y, y posteriormente se utiliza para corregirse a sí misma.

Dada la EDO:

\frac{dy}{dx}=f\left( x,y \right)

Con un valor inicial y(x0) = y0 y un paso h también definido por una partición equiespaciada. Así, la fórmula para xn se mantiene, es decir:

{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+h

Y la fórmula para estimar el valor de y está determinada por:

f\left( x,y \right)

Inicialmente, se tiene que:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n+1}}

Entonces:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+f\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)h

Teniendo en cuenta que f(xn, yn) será el valor de la primera pendiente, que se llamará k1:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+h{{k}_{1}}

Ahora, de manera similar, se debe tomar una segunda pendiente a partir de la que ya se obtuvo, que sería:

{{k}_{2}}=f\left( {{x}_{n+1}},{{U}_{n+1}} \right)

Ahora, usando nuevamente la fórmula de Euler se obtiene:

{{y}_{n+1}}={{y}_{n}}+hk~

k=\frac{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}{2}

Donde k es el promedio entre las dos pendientes obtenidas con anterioridad.

Obteniendo finalmente que:

{{y}_{n+1}}={{y}_{n}}+h\left( \frac{f\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)+f\left( {{x}_{n+1}},{{U}_{n+1}} \right)}{2} \right)

Siendo:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+hf\left( {{x}_{n}}{{y}_{n}} \right)


EJEMPLO











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