MÉTODOS DE EULER

 MÉTODOS DE EULER

En matemáticadimiento de integración numerica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los metodos numericos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los Metodos de Runge - Kutta. El método de Euler es nombrado por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado en 1768-1770).

El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, una vez que el punto ha sido calculado.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en un principio, su punto de comienzo, al cual denotamos por A₀, es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede calcular la pendiente de la curva en el punto A₀ y por lo tanto la recta tangente a la curva.

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A₁ y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A₁. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A₀A₁A₂A₃... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo)...

PROCEDIMIENTO

Consiste en dividir los intervalos que va de ${\displaystyle x_{0}\,}$ a ${\displaystyle x_{f}\,}$ en ${\displaystyle n\,}$ subintervalos de ancho ${\displaystyle h\,}$; o sea:

H= (Xf - Xo)/n

de manera que se obtiene un conjunto discreto de ${\displaystyle n+1\,}$ puntos: ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\,}$ del intervalo de interés ${\displaystyle [x_{0},x_{f}]\,}$. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

${\displaystyle x_{i}={x_{0}+ih}\qquad 0\leq i\leq n\,}$.

 La condición inicial , representa el punto  por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como . Ya teniendo el punto  se puede evaluar la primera derivada de  en ese punto; por lo tanto:

${\displaystyle F'(x)={\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert }_{P_{0}}=f(x_{0},y_{0})}$

 Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente . Esta recta aproxima  en una vecindad de . Tómese la recta como reemplazo de  y localícese en ella (la recta) el valor de  correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

${\displaystyle {y_{1}-y_{0} \over x_{1}-x_{0}}=f(x_{0},y_{0})\,}$

Se resuelve para ${\displaystyle y_{1}\,}$:

Es evidente que la ordenada ${\displaystyle y_{1}\,}$ calculada de esta manera no es igual a ${\displaystyle F(x_{1})\,}$, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor ${\displaystyle y_{1}\,}$ sirve para que se aproxime ${\displaystyle F'(x)\,}$ en el punto ${\displaystyle P=(x_{1},y_{1})\,}$ y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{crl}y_{1}=y_{0}+hf(x_{0},y_{0})\\y_{2}=y_{1}+hf(x_{1},y_{1})\\.\\.\\.\\y_{i+1}=y_{i}+hf(x_{i},y_{i})\\.\\.\\.\\y_{n}=y_{n-1}+hf(x_{n-1},y_{n-1})\\\end{array}}\quad \,}$

EJEMPLO

En primer lugar se calcula el valor de ${\displaystyle h\,}$ tomando en cuenta que el número de pasos ${\displaystyle n\,}$ es ${\displaystyle 4\,}$; por lo tanto quedaría así:

${\displaystyle h={\frac {0.14-0.13}{4}}=0.0025\;}$

Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|}\hline {dy \over dx}&x&y\\\hline &x_{0}&y_{0}\\\hline f(x_{0},y_{0})=\sin(x_{0})-\ln(y_{0})&x_{1}=x_{0}+h&y_{1}=y_{0}+h\cdot f(x_{0},y_{0})\\\hline f(x_{1},y_{1})=\sin(x_{1})-\ln(y_{1})&x_{2}=x_{1}+h&y_{2}=y_{1}+h\cdot f(x_{1},y_{1})\\\hline f(x_{2},y_{2})=\sin(x_{2})-\ln(y_{2})&x_{3}=x_{2}+h&y_{3}=y_{2}+h\cdot f(x_{2},y_{2})\\\hline f(x_{3},y_{3})=\sin(x_{3})-\ln(y_{3})&x_{4}=x_{3}+h&y_{4}=y_{3}+h\cdot f(x_{3},y_{3})\\\hline \end{array}}}$

Los valores iniciales de ${\displaystyle x\,}$ y ${\displaystyle y\,}$ vienen dados por:

${\displaystyle x_{0}=0.13\,}$, ${\displaystyle y_{0}=0.32\,}$.

Teniendo dichos valores se comienza con el método. Se harán aproximaciones de hasta ocho decimales. La función seno se evaluará en radianes.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|}\hline {dy \over dx}&x&y\\\hline &0.13&0.32\\\hline 1.269068&0.1325&0.323172\\\hline 1.261681&0.135&0.326326\\\hline 1.254446&0.1375&0.329462\\\hline 1.247358&0.14&0.33258138\\\hline \end{array}}}$

Por lo que el resultado obtenido es: ${\displaystyle y_{4}=0.33258138\,}$. Conociendo el valor exacto de la ecuación en ese punto, ${\displaystyle y=0.3325459\,}$, se puede calcular el error relativo cometido por el método:

${\displaystyle \varepsilon _{r}=\left|{\begin{array}{rcl}{\cfrac {0.33258138-0.3325459}{0.3325459}}\cdot 100\\\end{array}}\right|=1.064364\cdot 10^{-2}\,\%}$